2022-09-16算法00
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面试官:说说你对分而治之、动态规划的理解?区别?

一、分而治之

分而治之是算法设计中的一种方法,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并

关于分而治之的实现,都会经历三个步骤:

  • 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相对独立,与原问题形式相同的子问题
  • 解决:若子问题规模较小且易于解决时,则直接解。否则,递归地解决各子问题
  • 合并:将各子问题的解合并为原问题的解

实际上,关于分而治之的思想,我们在前面已经使用,例如归并排序的实现,同样经历了实现分而治之的三个步骤:

  • 分解:把数组从中间一分为二

  • 解决:递归地对两个子数组进行归并排序

  • 合并:将两个字数组合并称有序数组

同样关于快速排序的实现,亦如此:

  • 分:选基准,按基准把数组分成两个字数组
  • 解:递归地对两个字数组进行快速排序
  • 合:对两个字数组进行合并

同样二分搜索也能使用分而治之的思想去实现,代码如下:

function binarySearch(arr,l,r,target){
    if(l> r){
        return -1;
    }
    let mid = l + Math.floor((r-l)/2)
    if(arr[mid] === target){
        return mid;
    }else if(arr[mid] < target ){
        return binarySearch(arr,mid + 1,r,target)
    }else{
        return binarySearch(arr,l,mid - 1,target)
    }
}

二、动态规划

动态规划,同样是算法设计中的一种方法,是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法

常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题

简单来说,动态规划其实就是,给定一个问题,我们把它拆成一个个子问题,直到子问题可以直接解决

然后呢,把子问题答案保存起来,以减少重复计算。再根据子问题答案反推,得出原问题解的一种方法。

一般这些子问题很相似,可以通过函数关系式递推出来,例如斐波那契数列,我们可以得到公式:当 n 大于 2的时候,F(n) = F(n-1) + F(n-2) ,

f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7)...是重叠子问题,当n = 1、2的时候,对应的值为2,这时候就通过可以使用一个数组记录每一步计算的结果,以此类推,减少不必要的重复计算

适用场景

如果一个问题,可以把所有可能的答案穷举出来,并且穷举出来后,发现存在重叠子问题,就可以考虑使用动态规划

比如一些求最值的场景,如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等,都是动态规划的经典应用场景

关于动态规划题目解决的步骤,一般如下:

  • 描述最优解的结构
  • 递归定义最优解的值
  • 按自底向上的方式计算最优解的值
  • 由计算出的结果构造一个最优解

三、区别

动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解

与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的,而分而治之的子问题是相互独立的

若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次

如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间

综上,可得:

  • 动态规划:有最优子结构和重叠子问题

  • 分而治之:各子问题独立

参考文献

本文作者:毛超颖

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